Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы

Найти частоту и период малых свободных колебаний механи­ческой системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопро­тивления и массами нитей.

Отыскать уравнение движения груза 1 y — y(t), приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин). Отыскать также амплитуду колебаний груза 1.

Схемы систем показаны на рис. 226 — 228, а нужные данные Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы приведены в табл. 60.

Таблица 60

№ вар l ix ix’ r4 m1 m2 m3 m4 m5 m6 c Изначальное условие
м кг Н/см y0, см м/с
0,5 - - - - 0,1 5,0
0,5 - - - 0,2 3. 6,0
0,5 3/2r - - - 0,2 7,0
0,6 - - - 0,2
0,6 - - 0,15 - 8,0
0,6 - - 0,15 - 0,3 7,0
- - - - - 0,4
- - - - - 6,0
0,6 - - - - 0,5 5,0
0,6 - - - - 6,0
- - - - - 0,4 7,0
0,5 - - - - 0,2
0,3 - - - 8,0
0,4 - - 0,1 - 7,0
0,4 - - - 0,1
- - - - - 0,3 6,0
- - - - - 5,0
- - - - - 6,0
0,2 - - - - 0,1
0,5 - - - - 0,4 7,0
- 2r - - - 8,0
- - - - 0,1 7,0
0,4 - - 0,2 0,3
- - - - 6,0
0,3 - - 0,1 0,2 5,0
- - - - - 0,3
- - 3r/2 - - 6,0
- - - - 0,2
- - 4r/3 - - 7,0
- - - - 0,3 7,0

В задании приняты последующие обозначения: 1 — груз массой т1, 2 — блок массой т2 и радиусом г2 (сплошной однородный диск); 3 — блок Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы массой, т3 и радиусом инерции ix; 4 — сплошной однородный диск массой m4 и радиусом r4; 5 — диск массой ; m 5 и радиусом инерции i'x; 6 — узкий однородный стержень массой т6 и длиной I; 7 — стержень, масса кото­рого не учитывается; с — коэффициент жесткости пружины; у0 — изначальное отклонение груза / по вертикали от положения Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы покоя, соответственного статической деформации пружины; у0 — проекция исходной скорости 0 груза 1 на вертикальную ось.

На рис. 226 — 228 системы тел 1 — 7 показаны в положении покоя (при статической деформации пружин).

В вариантах 5, 6, 14 и 23 стержень 6 агрессивно соединен с диском 4.

Пример выполнения задания.Дано: т1 = 1кг, т2=2 кг, т4= 1 кг, т6 = 3 кг; l = 0,6 м; с = 20 Н Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы/см; у0 = 0,2 см; 0 = 8 см/с (рис. 229).

Найти циклическую частоту к и период Т малых свободных колебаний системы, также получить уравнение у = у(t) колебаний груза 1и отыскать амплитуду а его колебаний.

Решение. Воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консер­вативной системы. Приняв за обобщенную координату системы верти­кальное отклонение Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы у груза 1от положения покоя, соответственного статической деформации пружины, имеем


где Т — кинетическая энергия системы; П — возможная энергия сис­темы.

Кинетическую энергию T вычислим с точностью до величин второго порядка малости относительно и у, а потенциальную энергию П — с точностью до величин второго порядка малости относительно обоб­щенной координаты у.

Найдем кинетическую Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы энергию системы, равную сумме кинетических энергий тел 1, 2, 6 и 4:

Выразим скорость центра тяжести тела 4 и угловые скорости тел 2, 4 и 6 через обобщенную скорость :

v1 = ; ω2= /r2; ω6=ω2 = /r2

Потому что рассматриваются малые колебания, то vB = vA, а ввиду того, что диск 4 катится без скольжения, vc = vB/2; как следует,

.

Момент инерции тела Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы 4 относительно центральной оси

Моменты инерции тел 2 и 6 относительно оси вращения

J2 = m2r22/2; J6 = m6l2/3. Кинетическая энергия тел 1, 2, 4 и 6 имеет последующий вид:

Таким макаром, кинетическая энергия рассматриваемой механической системы

Найдем потенциальную энергию системы, которая обусловится рабо­той сил тяжести системы и силы упругости пружины на перемещении системы из отклоненного положения, когда груз имеет Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы координату у, в нулевое положение, которым считаем положение покоя системы:

П = ПІ + ПІІ.

Возможная энергия, соответственная силам тяжести при указан-" ном перемещении,

П1= - G1y - G6h,

где h — вертикальное смещение центра масс стержня 6, которое вы­числяем с точностью до величины второго порядка малости относительно обобщенной Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы координаты у. По рис. 230,

h = l/2- (1/2) cos φ = (l/2) (t - cos ф).

Ограничиваясь в формуле разложения

cos φ = 1 - φ2/2! + φ4/4!-…

2-мя первыми членами и беря во внимание, что

φ = y/r2 = 4y/l

имеем

Таким макаром,

Возможная энергия деформированной пружины при обозначенном перемещении системы равна

где - статическая деформация пружины; λК - перемещение точки при­крепления пружины К, соответственное координате у. Потому Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы что (см. рис. 229)

т. е. = Зу, то

Возможная энергия системы

Потому что в положении покоя, соответственном статической деформации пружины,

(a)

Уравнение (а) можно получить также, составив уравнение моментов сил = 0 для положения покоя системы (рис. 231):

либо

т.е.

Таким макаром, возможная энергия рассматриваемой механической системы

Найдем значения членов уравнения (1):

Уравнение (1) приобретает вид

либо

Обозначив к2 коэффициент при Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы у, имеем

+ к2у = 0. (2)

Повторяющаяся частота свободных колебаний

1/с

Период свободных колебаний

Т = 2n/k = 2 • 3,14/27,1 = 0,23 с.

Интегрируя уравнение (2), получаем уравнение движения груза 1:

у = С1 coskt + С2 sinkt. .'

Для определения неизменных Ct и С2 найдем уравнение скорости груза

= - kC1 sinkt + кС2 coskt

и воспользуемся исходными критериями задачки. Из уравнений у = у (t) и у — y(t Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы) при t = 0 имеем:

y0 = C1; = kС2.

Как следует,

C1=y0 С2 = /k

Подставляем эти значения Сх и С2 в уравнение y = y(t):

у = y0 cos kt + ( /к) sin kt;

у = 0,2 cos 27,1t + 0,3 sin 27,lt.

Уравнение у = у (t) можно получить в другом виде, если перейти к другим неизменным Задание Д.23. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы интегрирования αиβ, приняв

C1=α sinβ; C2 = αcosβ

Тогда у = a sin (kt + β), где а = , β= arctg (C1/C2) либо

а = β = arctg (куо/ )

Найдем числовые значения а и β: а = 3,6 • 10 -2 м, β = arctg 0,68.

Потому что sin β > 0 (С1> 0), то β = 34° 12' = 0,597 рад.

Совсем

у = 3,6 • 10- 2 sin (27,1t + 0,595) м.


zadanie-7-tema-poverka-sredstv-izmerenij.html
zadanie-7-zapishite-cifri-slovami-gde-nuzhno-raskrojte-skobki-vibrav-pravilnie-formi.html
zadanie-75-zadachi-svodyashiesya-k-obrabotke-odnomernih-massivov.html